ベルヌーイ分布

確率変数Xがパラメータpのベルヌーイに従う。

根元事象は2つ。
試行においてある条件を満たす(TRUE), 満たさない(FALSE)
X={TRUE, FALSE}
p: x ∈ X がTRUEとなる確率
確率密度関数:

\displaystyle  Bernoulli(x;p) = \delta(x, TRUE)p + \delta(x, FALSE)(1-p) \\ \phantom{Bernoulli(x;p)} = \delta(x, TRUE)p + (1-\delta(x, TRUE))(1-p) \\ \phantom{Bernoulli(x;p)} = p^{\delta(x, TRUE)}(1-p)^{(1-\delta(x, TRUE))}

例.コイントス
聞き飽きたであろう例。
コイン1枚をトスして表か裏かを見る試行を、ベルヌーイ試行とみなす。
発生する事象は
ETRUE:表が出る(TRUE)
EFALSE:裏が出る(FALSE)
の二つである。
X={ETRUE, EFALSE},
p:x=ETRUEとなる確率(ただし、x ∈ X)
とし、Xをベルヌーイ分布に従うみなす。

さて、今コイン1枚をトスして(試行を行い)表が出たとする。
この確率は、先ほどの仮定により、以下のようになる。

\displaystyle  Bernoulli(x;p) = p

どうように裏が出たとしたとき、この確率は以下のようになる。

\displaystyle  Bernoulli(x;p) = 1-p

なんともシンプルである。
今回記述するにあたり、「仮定」や「みなす」という言葉をあえて使った。 これが自分なりの解釈だ。次は二項分布。

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