ベクトル空間の元と成分表示について

ここ最近,ベクトル空間というものによく出くわす.
そして,ここ最近ずっと悩まされている.つらい.が,楽しくもある.
出来の悪い僕は,誰もが簡単に通過できる部分にひどく苦しめられる.(決してベクトル空間が簡単な概念であると言いたいわけではない.)

この記事はベクトル空間の元について,掘り下げて考えてみたことをまとめたものである.
(正確には,まとめたevernoteのノートをちょっと変えてポストしているわけだが.)
ベクトル空間の定義はベクトル空間 – Wikipediaに任せるとしよう.
ここで考えたいのは,その元についてである.
僕はベクトル空間の元は,その名前から,ベクトルであるとなんとなく思っていたが,少し考えればそうとは限らないということがわかる.
院試のための勉強のときに,N次正方行列の全体はベクトル空間である,数列全体はベクトル空間である,などといった問題に遭遇したことを思い出したためである.
そうすると,ベクトル空間の元は,ベクトルであるとは限らないという結論に達する.
しかしながら,多くの本では,ベクトル空間の元は必ずベクトルであるかのように書かれている.
ここに,僕の誤解釈による大きな勘違いが生じていたことに気がつく.

さて,ベクトル空間の元とはなんであろうか?
結論から言えば,大きな勘違いは,元と成分表示を同一視していたために生じたと言える.
例として,2次正方行列の全体を考えると,これはベクトル空間である.
そうすると,この は2次正方行列である.当たり前の話である.
ここで,基底が登場する.基底については基底 (線型代数学) – Wikipediaに任せるとしよう.
基底に,{[1 0; 0 0], [0 1; 0 0], [0 0; 1 0], [0 0; 0 1]}をとれば,元の成分表示は[x1, x2, x3, x4]で表現できる.
そうすると,以下の結論が得られると思うのだが,どうだろうか.

ベクトル空間の元はベクトルでなくてもよいが,ある基底に対する元の成分表示はベクトルで書ける.

これは僕にとっては,頭の中をすっきりさせてくれる文である.
ここで,ある本にこう書いてあったのを思い出す.

ベクトル空間Vnの基底にBを固定する

僕はこれをすっと通り過ぎたために,勘違いが発生したのだ.
今やこの文の意味するところは,ベクトル空間Vnの基底にBを固定すると,その元の成分表示はベクトルで書けるので,Vnの元の成分表示全体の元はベクトルである,という意味だと勝手に考えている.
ここからもう一つ言えるのは,

基底を構成する要素はベクトルでなくても良い

ということだ.上の例では基底を構成する要素は2次正方行列である.
しかしながら,基底の条件を見ると,線形独立性と,全域性が挙げられている.
そうすると,これら2つの性質はベクトルに限ったことではないと考えられる.

整理するとベクトル空間Vnを考える.
ここに基底Bを固定する(もちろんBの構成要素はベクトルでなくてよい).
Vnの元の基底Bによる成分表示の全体をB(Vn)とすると,B(Vn)の元はベクトルである.
この段階で,”Vnの元”と, B(Vn)の元 を同一視して考えることにすると,暗に仮定しているのではないか.
なので,Vnの元は必ずベクトルで表されるのだ(なぜならこの段階でVnの元,というとB(Vn)の元を指しているのだから).

もう一つ見えてくる.
僕は,”何かをベクトルで表現する”という言葉を好んで使うが,この時僕は暗にベクトル空間Vnを仮定し,ある基底Bによる成分表示の全体B(Vn)を考えていたということに気がついた.
何も考えずに1段階だと思っていたステップが,実は2段階だったのだ.
これには驚いた.ささやかな喜びだ.

さて,B(Vn)の元は必ずベクトルであり,n次元ベクトル全体はベクトル空間であるので,B(Vn)はベクトル空間である.
B(Vn)の元の要素数(次元数)はBの要素数,すなわちVnの次元,すなわちnである.
今,実数のみを考えることにすると,n次元実数ベクトル全体はRnと書かれることが多い.
そうすると,B(Vn)はRnの部分集合であるとも言えそうだ.
直感的には部分空間である,と言えそうだが,B(Vn)が和とスカラー倍に対して閉じているか検証していないのでここでは控えておく.

以上で終わる.
つっこみどころは満載かもしれない.
最初から元がベクトルであるベクトル空間を考えているのだ,と見なせば楽に読めるのかもしれない.
しかしながら,ベクトル空間としていろいろなことを表現できるのに,上のように見なすと,少しむなしい気がする.
以後もう少し掘り下げてみる予定だ.

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