「近づける」と「小さくする」

どうやら僕は言葉を異常に気にするようだ. 微積分を復習していて,気になったことがある. まずは,微分係数や導関数の定義に出てくる,「近づける」という言葉だ. ちなみに,導関数のある値での関数値が微分係数だと理解している.

さて,「xをaに近づける」というと,「どう近づけるのか」,すなわちその経路が問題になる. x,aがスカラーなら,プラス方向とマイナス方向が考えられる. これが,2次元以上になると,その経路は数えきれないほど存在する. そこで,「近づける」という表現は「小さくする」という表現で書き直される.

また,「近づける」は「小さくする」に比べて抽象度が高いように思われる. 「近づける」をより具体的に表すためにもこれを「小さくする」に書き直される.

ちなみに,「ベクトルxを小さくする」,という表現は意味がわからない(ある方向にそって,というのであればわからないこともない). ここで小さくすると言ったらその対象はスカラーであることとする.

では,どのように「近づける」を「小さくする」に書き換えるのか. 「xをaに近づける」という表現を考える. これを「小さくする」に書き換えるために,|x-a|を考える. 距離だとかいう言葉はあえて使わない. 「xをaに近づける」を「|x-a|を小さくする」に書き換えることは,僕にも納得ができそうだ. ちなみに,「小ささ」は正であることにも納得ができる. これならば,2次元以上のベクトルに対しても使えそうだ. こうすると,いわゆる極限のときに使われる矢印記号\rightarrowを表現できそうな気がするが,まだ気が早いか. x \rightarrow aは「xをaに限りなく近づける」と読むと教わった気がする(これは非常に抽象的で,さっぱりわからないのだが). これを表現するには,「限りなく」の部分をどうするかを考えなくてはならない.
すなわち「どのくらい小さくするか」を考えなくてはならない. また,「xをaに限りなく近づける」の「限りなく」は「近づける」に係っているのだから,決してxはaにはならないことも暗に示されている. これをある正の数\epsilonを用いて表すこととする.

\displaystyle |x-a| < \epsilon,

すなわち,「正の数\epsilonより小さいほどに小さくする」と書くことで,「小さくする程度」を表現する. これにも納得ができそうだ. さらに,決してxはaにはならないことも考慮に入れると,

\displaystyle 0 < |x-a| < \epsilon,

と表される.
これで,「xをaに限りなく近づける」を表現できただろうか,いや,まだな気がする. 「小さくする程度」が表現できた気がするが,「限りなく小さくする」とはどういうことだろう. これはさっぱりわからない.本当にわからない.少し見方を変えてみる.
\epsilonにどんな(小さい)数を選んでも,上の式が成り立つとはどういうことか. これは「xをaに限りなく近づけ 得る 」ということではないか. すなわち「|x-a|を限りなく小さくし 得る 」ということではないか. これはなんとか納得ができそうだ. 「小さくする」と言うと,ある操作のように聞こえるが,「小さくし得る」と言えばまた違ってくる.

まとめ

「近づける」と「小さくする」という表現,また「限りなく」という表現について考えた. 「xをaに限りなく近づける」という表現は意味がわからないものとして,
「xをaに限りなく近づけ得る」という表現について考えることにする(ただし,xはaにはならない). そうするとこれは,
「どんなに(小さい)正の数\epsilonに対しても,0 < |x-a| < \epsilonが成り立つ」 という表現と等価であることに納得した. ここから更なる理解が深まることを期待したい.それにしても無限はわからないことだらけだ.

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