必要な標本サイズを求める(母分散が既知の場合)

以下の情報がわかっている(いくつかは必要に応じて適宜決める)とき,必要な標本サイズnを求めることができる.
given: confidence level c, margin of Error E, population variance \sigma^2
まず,上側確率がaとなる点をZ_aと定義する.これの詳しい説明は以下に書いてます.

この定義は,以下を意味する.

\displaystyle  P(X > Z_{a}) = a

こう定義しておくと,以下の事実を得る.

\displaystyle  P(|X| < Z_{a}) = 1-2a

問題は,標本平均と母平均との絶対値差がE以下である確率をc以上になるよう保証する標本サイズnを求めなさいということなので,

\displaystyle  P(|\bar{X} - \mu| < E) \geq c

ちなみに,1-2a = cより,a=\frac{1-c}{2}を得る. ここで,

\displaystyle  Y = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

と,標準化を施すと(この標準化はずーっと元をたどると,誤差がN(0, \sigma)に従うとこから来てます.これについてはまた書きます,多分),

\displaystyle  P(|Y| < \frac{\sqrt{n}}{\sigma} E) \geq c

を得る.よって,

\displaystyle  n \geq \frac{Z^{2}_{a} \sigma^{2}}{E^{2}}

を得る.

問題があるとわかりやすいので,以下のサイトの問題を使う.

問題:\sigma=9.48, がわかっている時,E=1.2, c=0.95を達成する標本サイズnを求めよ.
このサイトでは,1-c=aとして説明している.僕が書いたaとは違います,混乱するかもしれませんね. よし,Rで求めてみよう.

> sigma = 9.48
> E = 1.2
> c = 0.95
> a = (1-c) / 2
> Za = qnorm(1-a) #前記事参照
> n = Za^2 * sigma^2 / E^2
> n
[1] 239.7454

よって,母分散が9.48のとき,E=1.2, c=0.95を達成には標本サイズを240以上にしなければならない.

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Google+ フォト

Google+ アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

%s と連携中